Liên hệ zalo
Bán tài liệu, giáo án tất cả các môn toán, lý,hoá,sinh,văn,sử,địa,tiếng anh, công dân,
Phần mềm bán hàng toàn cầu

Dao động co vật lí 12

Thứ năm - 13/05/2021 01:25
Dao động co vật lí 12, lý thuyết vật lý 12, trắc nghiệm lý thuyết vật lý 12, li độ là gì, vật lý 12 sgk, lý thuyết vật lý 12 chương 1, tổng hợp công thức vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 vietjack, vật lý 12 chương 5, lý thuyết vật lý 12, tổng hợp công thức vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 vietjack, trắc nghiệm lý thuyết vật lý 12, vật lý 12 sgk, bài tập vật lý 12
Vật lí 12
Vật lí 12
Dao động co vật lí 12, lý thuyết vật lý 12, trắc nghiệm lý thuyết vật lý 12, li độ là gì, vật lý 12 sgk, lý thuyết vật lý 12 chương 1, tổng hợp công thức vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 vietjack, vật lý 12 chương 5, lý thuyết vật lý 12, tổng hợp công thức vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 chương 1, lý thuyết vật lý 12 vietjack, trắc nghiệm lý thuyết vật lý 12, vật lý 12 sgk, bài tập vật lý 12 

CHƯƠNG 1. DAO ĐỘNG CƠ

A. LÍ THUYẾT

I. DAO ĐỘNG
Dao động là chuyển động qua lại quanh một vị trí cân bằng của vật.
Quả lắc của đồng hồ treo tường đung đưa sang trái, sang phải quanh một vị trí cân bằng (là vị trí thấp nhất của quả lắc) nên ta nói quả lắc đồng hồ đang dao động.
Trên mặt hồ gợn sóng, mẩu gỗ nhỏ bồng bềnh, nhấp nhô tại vị trí của nó trên mặt hồ. Ta nói mẩu gỗ nhỏ đang dao động.

II. DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định.
Ví dụ: Xét một con lắc đơn trong môi trường chân không. Ta kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng của nó sao cho dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc \alpha >10{}^\circ  nào đó rồi thả nhẹ. Ta sẽ quan sát thấy con lắc chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng (vị trí thấp nhất của con lắc) của nó mãi. Và sau khi thả, ta thấy cứ sau một khoảng thời gian bằng nhau và bằng T nào đó, con lắc lại trở lại vị trí ban đầu. Ta nói con lắc đang dao động tuần hoàn.

III. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Định nghĩa
Xét một vật dao động trên trục Ox xung quanh vị trí cân bằng của vật tại O. Trong quá trình vật chuyển động, vị trí của vật được xác định bởi tọa độ x gọi là li độ.
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian nhân với một hằng số.
 
Chú ý
Dao động điều hòa là một trường hợp riêng của dao động tuần hoàn, dao động tuần hoàn có thể không điều hòa.

2. Phương trình dao động
Một vật dao động điều hòa thì có phương trình dao động là x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)

3. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa
• x là li độ của vật (li độ là tọa độ x của vật trên trục tọa độ Ox. Đơn vị chuẩn là mét (m), thường dùng là centimet (cm).
• A là biên độ, là giá trị cực đại của li độ x ứng với lúc \cos \left( \omega t+\varphi \right)=1. Biên độ luôn dương, và có đơn vị của li độ.
\left( \omega t+\varphi \right) được gọi là pha của dao động tại thời điểm t. Pha chính là đối số của hàm côsin và là một góc. Đơn vị là độ hoặc rad.
• φ là pha ban đầu của dao động, tức là pha dao động tại thời điểm t = 0.
• ω gọi là tần số góc của dao động. Là tốc độ biến đổi của góc pha, có đơn vị là rad/s hoặc độ/s.
• Chu kì T là thời gian mà vật thực hiện được một dao động toàn phần.
STUDY TIP
Độ lớn của li độ \left| x \right| là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng.
 
T=\frac{2\pi }{\omega } . Chu kì có đơn vị là giây (s)
• Tần số f là số dao động vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian. Đơn vị là Héc (Hz) hay \frac{1}{s}.

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa, người ta thấy trong 10s vật thực hiện được 20 dao động. Khi đó:
- Tần số f của vật: f=\frac{20}{10}=2(Hz).
- Chu kì dao động: T=\frac{10}{20}=0,5 (s).



4. Phương trình vận tốc
Vận tốc bằng đạo hàm của li độ theo thời gian.
\begin{matrix} & v=x'=-\omega Asin\left( \omega t+\varphi \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\omega Asin\left( \omega t+\varphi +\pi \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\omega Acos\left( \omega t+\varphi +\pi -\frac{\pi }{2} \right) \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\omega Acos\left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right) \\ \end{align}
Nhận xét:
- Vận tốc biến đổi điều hòa, và cùng tần số góc (cùng chu kì, tần số) với li độ của vật.
- Vận tốc có chiều là chiều chuyển động của vật.
Nhận xét
Vận tốc mang dấu dương (+) khi vật chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ Ox. Vận tốc mang dấu âm (-) khi vật chuyển động theo chiều âm của trục tọa độ Ox.

- Xét độ lệch pha giữa vận tốc và li độ, tức xét hiệu số pha giữa pha của vận tốc và pha của li độ:
\Delta {{\varphi }_{vx}}={{\varphi }_{v}}-{{\varphi }_{x}}=\left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)-\left( \omega t+\varphi \right)=\frac{\pi }{2}>0
Từ đó ta có {{\varphi }_{v}}>{{\varphi }_{x}}\; ;\; {{\varphi }_{v}}={{\varphi }_{x}}+\frac{\pi }{2} nên ta nói rằng: Vận tốc sớm pha hơn li độ và sớm pha hơn một góc là \frac{\pi }{2}.
Ngược lại, nếu ta xét độ lệch pha giữa li độ và vận tốc, thì ta có \Delta {{\varphi }_{xv}}=-\frac{\pi }{2}<0\; hay\, {{\varphi }_{x}}<{{\varphi }_{v}}\;;{{\varphi }_{x}}={{\varphi }_{v}}-\frac{\pi }{2} nên ta nói rằng: li độ trễ pha so với vận tốc một góc bằng \frac{\pi }{2}.
Ngoài ra, nếu không xét đến đại lượng nào sớm hay trễ hơn so với đại lượng còn lại, thì ta nói x vuông pha với v hoặc v vuông pha với x.
STUDY TIP
Chú ý rằng theo Toán học, ta có: -1\le \cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)\le 1 nên do đó:
 
Vận tốc cực đại
Ta có
v=\omega A khi \cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)=1\\\Leftrightarrow \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2}=k2\pi \Leftrightarrow \omega t+\varphi =-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}

(khi đó x=0,\text{ }v>0, tức là khi vật đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương) nên vận tốc cực đại của vật là {{v}_{\text{max}}}=\omega A khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
Vận tốc cực tiểu
Ta có
v=-\omega A khi \cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)=-1\\\Leftrightarrow \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow \omega t+\varphi =+\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z}

(khi đó x=0,\text{ }v<0, tức là khi vật đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm) nên vận tốc cực tiểu của vật là {{v}_{\text{min}}}=-\omega A khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Chú ý
Chúng ta cần phân biệt giữa vận tốc và tốc độ. Tốc độ là độ lớn của vận tốc, là \left| v \right|. Do đó:
 
Nhận xét:
+ Tốc độ cực đại bằng \omega A khi:
\left| \cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right) \right|=1\Leftrightarrow \sin \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right)=0\\\Leftrightarrow \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2}=k\pi \Leftrightarrow \omega t+\varphi =-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x=0

Khi đó, vật đi qua vị trí cân bằng (không kể chiều).
+ Tốc độ cực tiểu bằng 0, khi:
\left| \cos \left( \omega t+\varphi +\frac{\pi }{2} \right) \right|=0\Leftrightarrow \omega t+\varphi
+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow \omega t+\varphi =k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\pm A

Khi đó, vật ở một trong hai vị trí biên.

5. Phương trình gia tốc
Gia tốc a của vật dao động điều hòa bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian, hay là đạo hàm hạng 2 của li độ x theo thời gian.
a=v'\left( t \right)=x''\left( t \right)=-{{\omega }^{2}}Acos\left( \omega t+\varphi \right)={{\omega }^{2}}Acos\left( \omega t+\varphi +\pi \right)=-{{\omega }^{2}}x.
Nhận xét:
- Gia tốc biến đổi điều hòa cùng tần số góc (cùng chu kì, tần số) với vận tốc và li độ của vật.
- Gia tốc có chiều ngược với chiều chuyển động của vật a=-{{\omega }^{2}}x và luôn có chiều hướng về vị trí cân bằng.
Xét độ lệch pha giữa gia tốc và vận tốc, gia tốc và li độ ta thấy:
- Gia tốc sớm pha \frac{\pi }{2}  so với vận tốc, hay vận tốc trễ pha \frac{\pi }{2} so với gia tốc.
- Gia tốc sớm pha π so với li độ, hay nói cách khác, gia tốc ngược pha so với li độ.
Gia tốc cực đại
Khi x=-A (vật ở biên âm) thì a={{\omega }^{2}}A nên gia tốc cực đại là {{a}_{max}}={{\omega }^{2}}A.
Gia tốc cực tiểu
Khi x=+A (vật ở biên dương) thì a=-{{\omega }^{2}}A nên gia tốc cực tiểu là {{a}_{\min }}=-{{\omega }^{2}}A.
Nhận xét
-A\le x\le A nên ta có: -{{\omega }^{2}}A\le a\le {{\omega }^{2}}A.

IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐỘC LẬP THỜI GIAN
Phương trình độc lập thời gian là phương trình liên hệ giữa các đại lượng như li độ x, vận tốc v và gia tốc a mà không phụ thuộc vào thời gian t.
1. Phương trình độc lập thời gian giữa v và x
Ta có
\left\{ \begin{matrix} & x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right) \\ & v=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi \right) \\ \end{align} \right.
Mặt khác, trong toán học, ta luôn có
{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 => \left\{ \begin{matrix} & \cos \left( \omega t+\varphi \right)=\frac{x}{A} \\ & \sin \left( \omega t+\varphi \right)=-\frac{v}{\omega A} \\ \end{align} \right.\\\Rightarrow {{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)+{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=1

Nhận xét:
- Phương trình trên cho phép ta tính được một trong bốn đại lượng x, v, A, ω khi biết ba đại lượng còn lại.
- Nếu A và ω cho trước thì đồ thị (v,x) là đường Elip
\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}=1
- Nhận thấy rằng vì x và v vuông pha nên ta có thể sử dụng được đẳng thức lượng giác: {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1
STUDY TIP
Tổng quát lên, với hai đại lượng biến thiên điều hòa m và n vuông pha với nhau thì ta luôn có:
{\left(\frac{m}{m_{max}}\right )}^2+{\left(\frac{n}{n_{max}}\right)}^2
 

2. Phương trình độc lập thời gian giữa a và v
Vì gia tốc a và vận tốc v vuông pha với nhau, nên ta có
{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1  
Nhận xét:

- Phương trình độc lập thời gian giữa a và v cho phép ta tính được một trong bốn đại lượng a, v, ω, A khi biết ba đại lượng còn lại.
- Nếu A và ω cho trước thì đồ thị (v,a) là đường Elip
\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1
Chú ý
Ngoài cách sử dụng tính chất vuông pha để suy ra biểu thức trên, ta có thể làm cách sau: thay x=\frac{-a}{{{\omega }^{2}}} vào phương trình độc lập thời gian giữa x và v ta được:
{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1

3. Phương trình độc lập thời gian giữa x và a
Phương trình độc lập thời gian giữa x và a là 

V. CON LẮC LÒ XO
Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng.

1. Con lắc lò xo nằm ngang
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang. Vật chuyển động trên một mặt phẳng ngang không có ma sát.
Chọn gốc tọa độ O tại vị trí lò xo không biến dạng. Chiều Ox hướng từ trái sang phải.


Khi vật ở vị trí có li độ x thì các lực tác dụng lên vật gồm:
- Trọng lực \overrightarrow{P} .
- Phản lực \overrightarrow{N} do mặt phẳng tác dụng lên vật.
- Lực đàn hồi của lò xo \overrightarrow{{{F}_{h}}}.
Xét các giá trị đại số của các vectơ trên trục Ox. Ta có:
- Trọng lực \overrightarrow{P} có phương vuông góc với Ox nên giá trị đại số trên trục Ox bằng 0.
- Phản lực \overrightarrow{N} do mặt phẳng tác dụng lên vật cũng có phương vuông góc với Ox nên giá trị đại số trên trục Ox bằng 0.
- Lực đàn hồi của lò xo \overrightarrow{{{F}_{h}}} có giá trị đại số là {{F}_{h}}=-k\Delta l=-kx. (Dấu trừ biểu thị lực đàn hồi luôn có chiều ngược với chiều biến dạng của lò xo)
Bây giờ, theo định luật II Newton thì tổng tất cả các lực tác dụng lên vật sẽ bằng m\overrightarrow{a} , nhưng theo phương Ox thì trọng lực bằng không, phản lực bằng không, gia tốc \overrightarrow{a} có giá trị đại số là a=x'' nên ta có
{{F}_{h}}=ma\Leftrightarrow -kx=mx''\Leftrightarrow x''+\frac{k}{m}x=0
 
Chú ý
\Delta l=l-{{l}_{0}} là độ biến dạng đại số của lò xo:
- \Delta l >0 thì lò xo dãn
- \Delta l <0thì lò xo nén
- \Delta l =x thì con lắc lò xo nằm ngang.

Đặt {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m} ,khi đó phương trình có dạng: x''+{{\omega }^{2}}x=0
có nghiệm là x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right). (Nếu không tin đó là nghiệm, thì bạn đọc có thể thay ngược trở lại phương trình để kiểm chứng).
Nhận xét
x''+{{\omega }^{2}}x=0 là phương trình vi phân. Chúng ta sẽ học trong Toán cao cấp trên bậc Đại học. Ở đây, ta chỉ cần biết nó giải được và có nghiệm như bên.

Kết luận:

+ Con lắc lò xo nằm ngang ta đang xét dao động điều hòa, với tần số góc:

+ Chu kì và tần số dao động lần lượt là:

2. Con lắc lò xo thẳng đứng
Xét chuyển động của vật nặng trong con lắc lò xo đặt thẳng đứng. Bỏ qua lực cản của không khí.
Chọn gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng của vật. Chiều dương Ox hướng từ trên xuống dưới.
Ban đầu, khi chưa kích thích cho vật dao động thì vật cân bằng, nên \overrightarrow{P}+\overrightarrow{{{F}_{h}}}=0, do đó độ lớn P={{F}_{h}}, tức là
mg=k\Delta {{l}_{0}}
Ở đây k là độ cứng của lò xo, \Delta {{l}_{0}} là độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Lúc sau, kích thích cho vật dao động. Khi vật ở vị trí có li độ x thì các lực tác dụng lên vật gồm:
- Trọng lực \overrightarrow{P}.
- Lực đàn hồi của lò xo \overrightarrow{{{F}_{h}}}.
 
Vật chịu tác dụng của các lực:
- Trọng lực \overrightarrow{P}.
- Lực đàn hồi của lò xo \overrightarrow{{{F}_{dh}}}..
Theo định luật II Newton ta có (dạng véc-tơ): \overrightarrow{P}+\overrightarrow{{{F}_{h}}}=m\overrightarrow{a}.
Viết dưới dạng đại số, ta có:
mg-k\Delta l=mx''
Trong đó \Delta l=\Delta {{l}_{0}}+x là độ dãn đại số của lò xo, k là độ cứng của lò xo. Khi đó ta có:
mg-k\left( \Delta {{l}_{0}}+x \right)=mx''\Leftrightarrow mx''+kx=\left( mg-k\Delta {{l}_{0}} \right)=0\Leftrightarrow x''+\frac{k}{m}x=0
Đặt {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}, khi đó phương trình có dạng: x''+{{\omega }^{2}}x=0
Phương trình này giống như phương trình thu được ở con lắc lò xo nằm ngang nên phương trình này cũng có nghiệm là x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right).
Kết luận:
+ Con lắc lò xo thẳng đứng cũng dao động điều hòa, với tần số góc:

+ Chu kì và tần số dao động lần lượt là:
3. Năng lượng của con lắc lò xo
Xét con lắc lò xo dao động với phương trình: x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)
Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của con lắc.
Vận tốc của con lắc là v=-\omega A\sin \left( \omega t+\varphi \right).
3.1. Động năng
Động năng của vật dao động điều hòa được xác định bởi
{{\text{W}}_{}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\left[ -\omega A\sin \left( \omega t+\varphi \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)
0\le {{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)\le 1 => 0\le {{\text{W}}_{}}\le \frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}. Do đó:
- {{\text{W}}_{\,max}}\,=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}khi {{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=1\Leftrightarrow co{{s}^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=0\Rightarrow x=0tức là khi vật ở vị trí cân bằng.
- {{\text{W}}_{\,\text{max}}}\,=0khi {{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=0\Rightarrow \omega t+\varphi =k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\pm A tức là khi vật ở một trong hai vị trí biên.
STUDY TIP
\\- {{\text{W}}_{\,max}}\,=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}} khi x = 0 \\\\- {{\text{W}}_{\,\min }}\,=0 khi x=\pm A

Ngoài ra, khi sử dụng công thức hạ bậc, ta có
{{\text{W}}_{}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=\frac{1}{4}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\left[ 1-cos2\left( 2\omega t+2\varphi \right) \right]
Do đó, động năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc \omega '=2\omega .
3.2. Thế năng
Thế năng của con lắc bao gồm thế năng đàn hồi và thế năng trọng trường. Chọn mốc tính thế năng đàn hồi và mốc tính thế năng trọng trường tại vị trí cân bằng của con lắc, thì:
- Trong trường hợp con lắc lò xo nằm ngang, thế năng của con lắc chỉ có thế năng đàn hồi {{\text{W}}_{t}}\,=\frac{1}{2}k{{x}^{2}} (thế năng trọng trường bằng 0).
- Trong trường hợp con lắc lò xo thẳng đứng, thế năng của con lắc bao gồm thế năng trọng trường và thế năng đàn hồi, tổng lại vẫn bằng {{\text{W}}_{t}}\,=\frac{1}{2}k{{x}^{2}} (ta hoàn toàn có thể chứng minh điều này).
 
Chú ý
Trong chương trình Vật lí phổ thông, nếu đề bài không nói gì về mốc thế năng, thì ta hiểu là ta đã chọn mốc thế năng đàn hồi và mốc thế năng trọng trường tại vị trí cân bằng của con lắc. Do đó, thế năng của con lắc trong trường hợp con lắc lò xo nằm ngang cũng như thẳng đứng đều là {{\text{W}}_{t}}\,=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}

Như vậy, thế năng của con lắc lò xo trong cả 2 trường hợp đều được xác định bởi
{{\text{W}}_{t}}\,=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{2}k{{\left[ A\cos \left( \omega t+\varphi \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)
0\le {{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)\le 1 => 0\le {{\text{W}}_{}}\le \frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}. Do đó:
- {{\text{W}}_{t\,max}}\,=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}\,\,khi\,\,{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=0\Rightarrow x=\pm A tức là khi vật ở một trong hai vị trí biên
- {{\text{W}}_{t\,\min }}\,=0\,\,khi\,\,{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=0\Rightarrow x=0 tức là khi vật ở vị trí cân bằng.
Ngoài ra, sử dụng công thức hạ bậc, ta có
{{\text{W}}_{t}}\,=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)=\frac{1}{4}k{{A}^{2}}\left[ 1+\cos 2\left( 2\omega t+2\varphi \right) \right]
Do đó, thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc \omega '=2\omega .
 
STUDY TIP.
- {{\text{W}}_{t\,max}}\,=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\,\text{ }khi\;\,x=\pm A
- {{\text{W}}_{t\,\min }}\,=0\,\,khi\,\,x=0
- Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc gấp 2 lần tần số góc của vật \omega '=2\omega

3.3. Cơ năng
Cơ năng của con lắc lò xo là tổng của động năng và thế năng
\begin{matrix} & \text{W}={{\text{W}}_{}}+{{\text{W}}_{\text{t}}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)+\frac{1}{2}k{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right) \\ \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)+\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}{{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right) \\ \\ & \,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\left[ {{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)+co{{s}^{2}}\left( \omega t+\varphi \right) \right]=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}} \\ \end{align}
Nhận xét:
- Cơ năng của vật luôn luôn không đổi và tỉ lệ với bình phương biên độ.
- Cơ năng của vật bằng động năng của vật khi vật ở vị trí cân bằng.
- Cơ năng của vật bằng thế năng của vật khi vật ở một trong hai vị trí biên
- Cơ năng của vật bằng động năng cực đại và cũng bằng thế năng cực đại của vật. 

VI. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG

1. Mối quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω thì hình chiếu của nó trên đường kính dao động điều hòa với tần số góc ω.
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn lượng giác có bán kính là A.
Điểm M chuyển động với tốc độ góc (tốc độ quay của \overrightarrow{OM} trên đường tròn) là ω (rad/s).
- Tại thời điểm ban đầu t = 0, \overrightarrow{OM} hợp với Ox một góc φ.
- Tại thời điểm t bất kì, góc tạo bởi \overrightarrow{O{{M}_{t}}} và Ox là \omega t+\varphi .
Hình chiếu của điểm Mt trên trục Ox là điểm Pt với
\overrightarrow{O{{P}_{t}}}={{x}_{{{P}_{t}}}}=A\cos \left( \omega t+\varphi \right).
Từ đây, ta có nhận xét sau:

- Điểm P dao động điều hòa.
- Thời gian để M quay hết một vòng 2pi là \frac{2\pi }{\omega } , khi đó P dao động được một chu kì T hay P thực hiện được một dao động toàn phần.
- Giả sử ở thời điểm t1, điểm P có li độ là x1, ứng với điểm H trên đường tròn; thời điểm t2, điểm P có li độ là x2, ứng với điểm G trên đường tròn thì: thời gian P đi từ x1 đến x2 bằng thời gian M chuyển động tròn đều từ H đến G.
Nhận xét trên này rất quan trọng giúp ta có thể giải bài toán tính thời gian trong dao động điều hòa một cách dễ dàng.

2. Tổng hợp dao động bằng phương pháp véc tơ quay
Xét hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
\left\{ \begin{matrix} & {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right) \\ & {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \\ \end{align} \right.
Khi đó phương trình dao động tổng hợp là
x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}
Để tổng hợp, ta có thể làm một trong các cách sau đây:
Cách 1: Nếu hai vật có cùng biên độ dao động, {{A}_{1}}={{A}_{2}}=A thì ta sẽ tổng hợp bằng cách sử dụng công thức cộng lượng giác
\cos a+\cos b=2\cos \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2} x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\\=A\left[ \cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)+\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right) \right]\\=2A\cos \left( \frac{{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}}{2} \right)\cos \left( \omega t+\frac{{{\varphi }_{2}}+{{\varphi }_{1}}}{2} \right)
Cách 2: Nếu hai vật biên độ khác nhau nhau, ta dùng phương pháp véc tơ quay như sau:

- Vẽ các véctơ  \overrightarrow{{{A}_{1}}},\,\overrightarrow{{{A}_{2}}}  tỉ lệ với các độ lớn của biên độ A1, A2. Tại thời điểm ban đầu t = 0, các véctơ này hợp với Ox các góc lần lượt φ1 và φ2.
- Vẽ véc tơ \overrightarrow{A}=\overrightarrow{{{A}_{1}}}+\,\overrightarrow{{{A}_{2}}} thì tại thời điểm ban đầu véctơ tổng hợp tạo với trục tọa độ một góc đúng bằng pha ban đầu của dao động tổng hợp φ.
- Cho các véctơ  \overrightarrow{{{A}_{1}}},\,\overrightarrow{{{A}_{2}}} quay đều với tốc độ góc ω theo chiều dương quy ước
(chiều ngược chiều kim đồng hồ). Khi đó véctơ \overrightarrow{A} có độ lớn không đổi và quay theo với tốc độ góc đúng bằng ω.
Từ hình vẽ, ta có biên độ của dao động tổng hợp là
{{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi
Pha ban đầu φ xác định bởi
\tan \varphi =\frac{AN}{ON}=\frac{PQ+QO}{OM+MN}=\frac{{{A}_{1}}\sin {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\sin {{\varphi }_{2}}}{{{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}}+{{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}}}
Sau khi xác định biên độ A và pha ban đầu φ thì ta sẽ có phương trình của dao động tổng hợp x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right).
Nhận xét: Ngoài cách tổng hợp dao động bằng phương pháp đại số như trên, ta còn một phương pháp nữa để tổng hợp dao động, đó là phương pháp số phức (sẽ được trình bày trong phần bài tập).

VII. CON LẮC ĐƠN
1. Cấu tạo
- Con lắc đơn gồm sợi dây nhẹ không dãn có chiều dài l, đầu trên được treo cố định đầu dưới được gắn với vật nặng có khối lượng m.
- Vật m có kích thước không đáng kể so với chiều dài của sợi dây, còn sợi dây có khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng m.
Chú ý
Con lắc đơn chỉ được coi là dao động điều hòa nếu có biên độ góc {{\alpha }_{0}}\le 10{}^\circ \;hay\; {{\alpha }_{0}}\le 0,1745 rad.

2. Thí nghiệm

Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α0 ({{\alpha }_{0}}\le 10{}^\circ ) rồi buông tay không vận tốc đầu, trong môi trường không có ma sát (mọi lực cản không đáng kể) thì con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0.

3. Phương trình dao động của con lắc đơn
Con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình li độ dài hoặc li độ góc
\left[ \begin{matrix} & s={{S}_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right) \\ & \alpha ={{\alpha }_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right) \\ \end{align} \right.
Với s=l\alpha . Trong đó:
• l chiều dài dây treo (m)
• s là li độ dài (cm, m,...).
• S0 là biên độ dài (cm, m, ...)
• α là li độ góc (rad).
• α0 là biên độ góc (rad).
\omega =\sqrt{\frac{g}{l}} (rad/s) (g là gia tốc trọng trường m/s2, l là chiều dài dây treo (m))
T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} (s) là chu kì của con lắc đơn.
f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}} (Hz) là tần số của con lắc đơn.

4. Phương trình vận tốc trong dao động điều hòa của con lắc đơn
Tương tự như trong dao động điều hòa, vận tốc của con lắc đơn
v=s'=-\omega {{S}_{0}}sin\left( \omega t+\varphi \right).
Các nhận xét tương tự như nhận xét đối với vận tốc trong dao động điều hòa.

5. Phương trình gia tốc trong dao động điều hòa của con lắc đơn
a=v'=s''=-{{\omega }^{2}}{{S}_{0}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)=-{{\omega }^{2}}s
Các nhận xét tương tự như nhận xét đối với gia tốc trong dao động điều hòa.

6. Các phương trình độc lập thời gian
Ta có các phương trình độc lập thời gian giống như phần dao động điều hòa đã trình bày. Ở đây li độ dài s giống với x.
\left\{ \begin{matrix} & S_{0}^{2}={{s}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \\ \\ & a=-{{\omega }^{2}}s \\ \end{align} \right.\xrightarrow{s=\alpha l}\left\{ \begin{matrix} & \alpha _{0}^{2}={{\alpha }^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{l}^{2}}{{\omega }^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{l}^{2}}{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{l}^{2}}{{\omega }^{2}}} \\ \\& \frac{a}{l}=-{{\omega }^{2}}\alpha \\ \end{align} \right.

7. Năng lượng của con lắc đơn
- Động năng: Động năng của con lắc đơn là động năng của vật (coi là chất điểm):
{{\text{W}}_{}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}
- Thế năng: Thế năng của con lắc đơn là thế năng trọng trường của vật. Nếu chọn mốc tính thế năng là vị trí cân bằng thì thế năng của con lắc đơn ở li độ góc α là
{{\text{W}}_{t}}=mgl\left( 1-\cos \alpha \right)
- Cơ năng: Nếu bỏ qua mọi ma sát thì cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn
\text{W}={{\text{W}}_{}}+{{\text{W}}_{t}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}+mgl\left( 1-\cos \alpha \right)=const
 

Tổng số điểm của bài viết là: 45 trong 9 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 9 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

DANH MỤC TÀI LIỆU
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây