Bán tài liệu, giáo án tất cả các môn toán, lý,hoá,sinh,văn,sử,địa,tiếng anh, công dân,
Phần mềm bán hàng toàn cầu

Chuyên đề tập hợp, tập con của tập số thực

Chủ nhật - 25/04/2021 13:27
Chuyên đề tập hợp, tập con của tập số thực, Bài tập về phép lấy phần bù, Bài tập về tập hợp lớp 6, Bài tập về các tập hợp số, Kí hiệu tập hợp con, Bài tập các tập hợp số, bài tập về tập hợp - lớp 10, Bài tập các phép toán tập hợp, Z là tập hợp số gì, Phép toán trên tập con của tập số thực, Kí hiệu tập hợp con
Chuyên đề tập hợp, tập con của tập số thực
Chuyên đề tập hợp, tập con của tập số thực

Chuyên đề tập hợp, tập con của tập số thực, Bài tập về phép lấy phần bù, Bài tập về tập hợp lớp 6, Bài tập về các tập hợp số, Kí hiệu tập hợp con, Bài tập các tập hợp số, bài tập về tập hợp - lớp 10, Bài tập các phép toán tập hợp, Z là tập hợp số gì, Phép toán trên tập con của tập số thực, Kí hiệu tập hợp con, Tập hợp số thực, Tập hợp Z, tập hợp con của 1; 2; 3, Bài tập về các tập hợp số, Q là tập hợp số gì, I là tập hợp số gì 

CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 

1. Tập hợp

• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. 
• Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. 
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. 
• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu \varnothing

2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

A\subset B\Leftrightarrow \left( \forall x\in A\Rightarrow x\in B \right)
Các tính chất:
+ A\subset A,\,\,\forall A      + \varnothing \subset A,\,\,\forall A        + A\subset B,\,B\subset C\,\Rightarrow A\subset C
• $A=B\Leftrightarrow (A\subset B và B\subset A)\Leftrightarrow \left( \forall x,x\in A\Leftrightarrow x\in B \right)$

3. Một số tập con của tập hợp số thực

Tên gọi, ký hiệu    Tập hợp
Hình biểu diễn
Tập số thực  \left( -\infty ;+\infty \right)
    {\mathbb{R}}

Đoạn \[\left[ a\text{ };\text{ }b \right]\]
    
\[\{x\in \mathbb{R}|a\le x\le b\}\]

Khoảng \[\left( a\text{ };\text{ }b \right)\]

Khoảng \[(-\infty ;\text{ }a)\]

Khoảng \[(a\text{ };\text{ }+\infty )\]
    
\[\{x\notin \mathbb{R}|a<x<b\}\]

\[\{x\in \mathbb{R}|x<a\}\]

\[\{x\in \mathbb{R}|a<~x\}\]

Nửa khoảng \[\left[ a\text{ };\text{ }b \right)\]
 
Nửa khoảng \[\left( a\text{ };\text{ }b \right]\]

Nửa khoảng \[(-\infty ;\text{ }a]\]

Nửa khoảng \[[a\text{ };+\infty )\]
    
\[\{x\in \mathbb{R}|a\le x<b\}\]

\[\{x\in \mathbb{R}|a<x\le b\}\]

\[\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}\]

\[\{x\in \mathbb{R}|x\ge a\}\]
    

4. Các phép toán tập hợp

• Giao của hai tập hợp: A\cap B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A  và  x\in B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }
• Hợp của hai tập hợp: A\cup B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A\,  hoặc  x\in B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }
• Hiệu của hai tập hợp: A\backslash B\Leftrightarrow \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x|x\in A và {x\notin B\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }
   Phần bù: Cho B\subset A thì {{C}_{A}}B=A\backslash B             

B. CÁC DẠNG TOÁN TẬP HỢP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 
1. Các ví dụ minh họa  
Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
       \[A=\left\{ 0\text{ };\text{ }1;\text{ }2;\text{ }3;\text{ }4 \right\}\]
       \[B=\left\{ 0\text{ };\text{ }4;\text{ }8;\text{ }12;16 \right\}\]
       [C=\left\{ 1;2;4;8;16 \right\}]
Lời giải:
Ta có các tập hợp $A,B,C$ được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là
       \[A=\left\{ x\in N|x\le 4 \right\}\]
        [B=\{x\in N|\,\,x\vdots 4  và  \[x\le 16\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\]       
       [ C=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{2}^{n}}|\,\,n\le 4  và  n\in N\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }]    

Ví dụ 2: Cho tập hợp A=\left\{ x\in \ Z |\frac{{{x}^{2}}+2}{x}\in \ Z \right\} 
a) Hãy xác định tập $A$ bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp \[A\] mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3. 
Lời giải:
a) Ta có $\frac{{{x}^{2}}+2}{x}=x+\frac{2}{x}\in \ Z  với x\in \ Z  khi và chỉ khi [x] là ước của [2] hay \[x\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\]
Vậy  \[A=\left\{ -2;-1;0;1;2 \right\}\]
b) Tất cả các tập con của tập hợp \[A\] mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là
Tập không có phần tử nào: \varnothing  
Tập có một phần tử: \left\{ -2 \right\},\,\,\left\{ -1 \right\},\,\,\left\{ 0 \right\},\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ 2 \right\}
Tập có hai phần thử: \left\{ -2;-1 \right\},\,\,\left\{ -2;0 \right\},\,\,\left\{ -2;1 \right\},\,\,\left\{ -2;2 \right\},\,\,\left\{ -1;0 \right\}
\left\{ -1;1 \right\},\,\,\left\{ -1;2 \right\},\,\,\left\{ 0;1 \right\},\,\,\left\{ 0;2 \right\},\,\,\left\{ 1;2 \right\}.

Ví dụ 3: Cho A=\left\{ -4;-2;-1;2;3;4 \right\} và B=\left\{ x\in \ Z |\,\left| x \right|\le 4 \right\}. Tìm tập hợp [X] sao cho
a) \[X\subset B\backslash A\]          b) A\subset X\subset B        
c) A\cup X=B với [X] có đúng bốn phần tử 
Lời giải:
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
  \left| x \right|\le 4 \\
  x\in \ \\ Z
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
  -4\le x\le 4 \\
  x\in \ \\ Z
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}$ 
Suy ra B=\left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}
a) Ta có B\backslash A=\left\{ -3;0;1 \right\} 
Suy ra \[X\subset B\backslash A\] thì các tập hợp \[X\] là
\varnothing ,\,\,\left\{ -3 \right\},\,\left\{ 0 \right\},\,\,\left\{ 1 \right\},\,\,\left\{ -3;0 \right\},\,\,\left\{ -3;1 \right\},\,\,\left\{ 0;1 \right\},\,\,\left\{ -3;0;1 \right\}
b) Ta có \left\{ -4;-2;-1;2;3;4 \right\}\subset X\subset \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\} suy ra tập hợp [X] là
\left\{ -4;-2;-1;2;3;4 \right\},\,\,\left\{ -4;-2;-3;-1;2;3;4 \right\},\,\left\{ -4;-2;-1;0;2;3;4 \right\}
\left\{ -4;-2;-1;1;2;3;4 \right\},\,\,\left\{ -4;-2;-3;-1;0;2;3;4 \right\},\,\,\left\{ -4;-2;-3;-1;1;2;3;4 \right\}
\left\{ -4;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\},\,\,\,\left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}
c) Ta có A\cup X=B với [X] có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp [X] là
\left\{ -4;-3;0;1 \right\},\,\left\{ -3;-2;0;1 \right\},\,\,\left\{ -3;-1;0;1 \right\},\,\,\left\{ -3;0;1;2 \right\}$, $\left\{ -3;0;1;3 \right\},\,\,\left\{ -3;0;1;4 \right\}

Ví dụ 4: Cho các tập hợp: 
 \[\begin{align}
   A=\left\{ x\in R|\,\left( {{x}^{2}}+7x+6 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0 \right\} \\ 
B=\left\{ x\in N|\,2x\le 8 \right\} \\
\end{align}\]
\[C=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }2x+1|\,x\in Z\] và \[-2\le x\le 4\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\]
a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử 
b) Tìm  A\cup B,\,\,\,\,A\cap B,\,\,B\backslash C, {{C}_{A\cup B}}\left( B\backslash C \right) 
c) Tìm (A\cup C)\backslash B.
Lời giải:
a) *  Ta có:\left( {{x}^{2}}+7x+6 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)=0
  {{x}^{2}}+7x+6=0 \\
 {{x}^{2}}-4=0 \\
\Leftrightarrow  x=-1 \\  x=-6 \\
Hoặc:   x=-2 \\   x=2 \\
Vậy A=\left\{ -6;-2;-1;2 \right\}
* Ta có
  x\in N \\
 2x\le 8 \\
\Leftrightarrow x\in N \\ x\le 4 \\
\Leftrightarrow x\in \left\{ 0,1,2,3,4 \right\}
Vậy  B=\left\{ 0;1;2;3;4 \right\}\,\,
* Ta có
  x\in Z \\
 -2\le x\le 4 \\
\Leftrightarrow x\in \left\{ -2,-1,0,1,2,3,4 \right\}
Suy ra C=\left\{ -3;-1;1;3;5;7;9 \right\}
b) Ta có:  A\cup B=\left\{ -6;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\},\,\,A\cap B=\left\{ 2 \right\}$, $B\backslash C=\left\{ 0;2;4 \right\}
{{C}_{A\cup B}}\left( B\backslash C \right)=\left( A\cup B \right)\backslash \left( B\backslash C \right)=\left\{ -6;-2;-1;1;3 \right\}
c) Ta có:A\cup C=\left\{ -6;-3;-2;-1;1;2;3;5;7;9 \right\}
Suy ra (A\cup C)\backslash B=\left\{ -6;-3;-2;-1;5;7;9 \right\}

2. Bài tập luyện tập  
Bài 1.27: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng
\[A=\left\{ -4;-3;-2;-1;0\text{ };\text{ }1;\text{ }2;\text{ }3;\text{ }4 \right\}\], \[B=\left\{ \text{1}\,\,;\text{ 3};\text{ 5};\text{ 7};\,\,9 \right\}\], C=\left\{ 0;1;4;9;16;25 \right\}
Bài 1.28:
a) Trong các tập sau đây, tập nào là tập con của tập nào
 A=\left\{ 1;2;3 \right\}\quad \quad \quad \quad
B=\left\{ n\in N\left| n<4 \right. \right\} \\
 C=\left( 0;+\infty \right)\quad \quad \quad \quad
D=\left\{ x\in R\left| 2{{x}^{2}}-7+3=0 \right. \right\} \\
b) Tìm tất cả các tập X thoả mãn bao hàm thức sau;
                              \[\left\{ 1;2 \right\}\subset X\subset \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\].

Bài 1.29: Cho tập hợp A=\left\{ x\in \mathbb{R}|\frac{14}{3\sqrt{x}+6}\in \ Z \right\}
a) Hãy xác định tập [A] bằng cách liệt kê các phần tử
b) Tìm tất cả các tập con của tập hợp \[A\].

Bài 1.30: Cho A=\left\{ x\in \mathbb{R}|\left( {{x}^{4}}-16 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0 \right\} và  B=\left\{ x\in N|2x-9\le 0 \right\}.
Tìm tập hợp X sao cho
a) \[X\subset B\backslash A\]              
b)A\backslash B=X\cap A với X có đúng hai phần tử 

Bài 1.31: Cho tập \[A=\left\{ -1;1;5;8 \right\}\], B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16"
a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử. 
Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử. 
b) Xác định các phép toán  A\cap B,\,\,\,A\cup B,\,\,\,A\backslash B

Bài 1.32: Cho các tập hợp \[E=\{\text{ }x\in N|1\le x<7\}\]
\[A=\{\text{ }x\in N|\left( {{x}^{2}}-9 \right)\left( {{x}^{2}}5x6 \right)=0\}\]B=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x\in N|x
a) Chứng minh rằng \[A\subset E\] và B\subset E
b) Tìm \[{{C}_{E}}A\text{ };\text{ }{{C}_{E}}B\text{ };~{{C}_{E}}(A\cup B)\]
c) Chứng minh rằng:     \[E\backslash (A\cap B)=\left( E\backslash A \right)\cup \left( \text{ }E\backslash B \right)\]

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN  
1. Phương pháp giải 
\bullet Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp
\bullet Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp 
\bullet Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết quả bài toán
Trong dạng toán này ta kí hiệu n\left( X \right)là số phần tử của tập \[X\]. 

2. Các ví dụ minh họa  
Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu, 30 em biết chơi cầu lông, 15 em biết chơi cả hai. Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? bao nhiêu em chỉ biết đánh cầu lông? Sĩ số lớp là bao nhiêu? 
Lời giải:       
Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25-15=10 
Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30-15=15
Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp  10A1 là 10+15+15=40
Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng. 

Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên. 
Lời giải:       
Gọi \[a,b,c\] theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán; 
[x] là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán
[y] là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán
[z] là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử
Ta có số em thích ít nhất một môn là 45-6=39
Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{align}
  a+x+z+5=25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
b+y+z+5=18\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
 c+x+y+5=20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\
x+y+z+a+b+c+5=39\,\,\,\,(4) \\
\end{align} \right.$ 
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có
a+b+c+2\left( x+y+z \right)+15=63 (5)
Từ (4) và (5) ta có
a+b+c+2\left( 39-5-a-b-c \right)+15=63
\Leftrightarrow a+b+c=20
Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên. 

Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn. 
Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp
a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa
b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa. 
Lời giải:       
GọiT,\,\,L,\,\,H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa. B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn. 
Theo giả thiết ta có n\left( T \right)=16,\,\,n\left( L \right)=15,\,\,n\left( H \right)=11,\,\,n\left( B \right)=11
n\left( T\bigcap L \right)=9,\,\,n\left( L\bigcap H \right)=6,\,\,n\left( H\bigcap T \right)=8 và 
a) Xét tổng\[n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)\] thì mỗi phần tử của tập hợp T\cap L\cap H được tính ba lần do đó ta có
\[n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-3n\left( T\cap L\cap H \right)=n\left( B \right)\]
Hay \[n\left( T\cap L\cap H \right)=\frac{1}{3}\left[ n(T\cap L)+n(L\cap H)+n(H\cap T)-n\left( B \right) \right]=4\]Suy ra có 4 học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa. 
b) Xét n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( L\bigcap T \right) thì mỗi phần tử của tập hợp T\cap L\cap H được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là
n\left( T \right)-\left[ n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( H\bigcap T \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]=16-\left( 9+8-4 \right)=3 
Tương tự ta có
Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý
n\left( L \right)-\left[ n\left( T\bigcap L \right)+\,n\left( L\bigcap H \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]=15-\left( 9+6-4 \right)=4
Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa
n\left( H \right)-\left[ n\left( H\bigcap T \right)+\,n\left( L\bigcap H \right)-n\left( T\cap L\cap H \right) \right]=11-\left( 8+6-4 \right)=1
Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là 3+4+1=8.

Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh: 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. 
Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?   
Lời giải:       
Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh. 
Theo giả thiết ta có:\[n\left( A \right)=10,\text{ }n\left( B \right)=8\], \[n\left( C \right)=6,\]
\[n(A\cap B)=\text{ }5,\text{ }n(A\cap C)=4,\text{ }n(B\cap C)=3,\,\,n(A\cap B\cap C)=1\].
 Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính \[n(A\cup B\cup C)\].
Xét tổng \[n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)\]: trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng \[n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)\] ta phải trừ đi tổng \[n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)\]. 
Trong tổng \[n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)\] được tính n\left( A\cap B\cap C \right) 3 lần, trong 
\[n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)\]
cũng được tính n\left( A\cap B\cap C \right) 3 lần. Vì vậy  
\[n(A\cup B\cup C)=n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n\left( A\cap B\cap C \right)\] =10+8+6-(5+4+3)+1=13
Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày.      
Nhận xét: Với A,B,C là các tập bất kì khi đó ta luôn có
\bullet \,\,n\left( A\cup B \right)=n\left( A \right)+n\left( B \right)-n\left( A\cap B \right)\
[\bullet \,\,n(A\cup B\cup C)=n\left( A \right)+n\left( B \right)+n\left( C \right)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n\left( A\cap B\cap C \right)\]

3. Bài tập luyện tập  
Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ môn: Anh, Toán, Văn . Có 8 em giỏi Văn, 10 em giỏi Anh, 12 em giỏi Toán , 3 em giỏi  Văn và Toán, 4 em giỏi Toán và Anh , 5 em giỏi Văn và Anh, 2 em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ?

Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một môn . Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán, 20 em giỏi Anh. Có 8 em giỏi đúng hai môn Văn, Toán; Có 7 em giỏi đúng hai môn Toán, Anh; Có 6 em giỏi đúng hai môn Anh, Văn. Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba môn Văn, Toán, Anh?  

Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như sau: Về môn Toán: 48 thí sinh; Về môn Vật lý: 37 thí sinh; Về môn Văn: 42 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh;  Về môn Toán hoặc môn Văn: 76 thí sinh; Về môn Vật lý hoặc môn Văn: 66 thí sinh;  Về cả 3 môn: 4 thí sinh. Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về: 
a) Một môn?
b) Hai môn?
c)  ít nhất một môn?    

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH  TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON
1. Phương pháp giải 
\bullet Để chứng minh A\subset B
Lấy\forall x,\,\,x\in A ta đi chứng minhx\in B
\bullet Để chứng minh A=B ta đi chứng minh 
+ A\subset BB\subset A hoặc \forall x,\,\,x\in A\Leftrightarrow x\in B

2. Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Cho các tập hợp A=\left\{ \frac{\pi }{3}+k\pi ,\,\,k\in Z \right\}, B=\left\{ -\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in Z \right\}và 
C=\left\{ -\frac{2\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},\,\,k\in Z \right\}
a) Chứng minh rằng A=B. 
b) A\subset C
Lời giải:
a) \bullet  Ta có \forall x\in A\Rightarrow \exists {{k}_{0}}\in Z:\,\,x=\frac{\pi }{3}+{{k}_{0}}\pi  suy ra
x=\frac{\pi }{3}-\pi +\left( {{k}_{0}}+1 \right)\pi =-\frac{2\pi }{3}+\left( {{k}_{0}}+1 \right)\pi .
{{k}_{0}}\in Z\Rightarrow {{k}_{0}}+1\in Z do đó \[x\in B\] suy ra  A\subset B(1).
\bullet \forall x\in B\Rightarrow \exists {{k}_{0}}\in Z:\,\,x=-\frac{2\pi }{3}+{{k}_{0}}\pi  suy ra
x=-\frac{2\pi }{3}+\pi +\left( {{k}_{0}}-1 \right)\pi =\frac{\pi }{3}+\left( {{k}_{0}}-1 \right)\pi .
{{k}_{0}}\in Z\Rightarrow {{k}_{0}}-1\in Zdo đó \[x\in A\] suy ra B\subset A (2).
Từ (1) và (2) suy ra A=B. 
b) Ta có \forall x\in A\Rightarrow \exists {{k}_{0}}\in Z:\,\,x=\frac{\pi }{3}+{{k}_{0}}\pi  suy ra
x=\frac{\pi }{3}-\pi +\frac{2\left( {{k}_{0}}+1 \right)\pi }{2}=-\frac{2\pi }{3}+\frac{2\left( {{k}_{0}}+1 \right)\pi }{2}.
{{k}_{0}}\in Z\Rightarrow 2\left( {{k}_{0}}+1 \right)\in Z do đó \[x\in C\]
Suy ra  . 

Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng 
a) \left( A\backslash B \right)\subset A
b) \[A\cap \left( B\backslash A \right)=\varnothing \]
c) A\cup \left( B\backslash A \right)=A\cup B
Lời giải:
a) Ta có \forall x,\,\,x\in A\backslash B\Leftrightarrow
   x\in A \\
   x\notin B \\
\Rightarrow x\in A
Suy ra\left( A\backslash B \right)\subset A
b) Ta có \[x\in A\cap \left( B\backslash A \right)\Leftrightarrow
   x\in A \\
  x\in \left( B\backslash A \right) \\
=>  x\in A \\  x\in B \\ Và   x\notin A \\
\Leftrightarrow x\in \varnothing
Suy ra \[A\cap \left( B\backslash A \right)=\varnothing \]
c) Ta có x\in A\cup \left( B\backslash A \right)\Leftrightarrow
  x\in A \\
  x\in \left( B\backslash A \right) \\
=> x\in A \\    x\in B \\ Và  x\notin A
 x\in A \\
x\in B \\
\Leftrightarrow x\in A\cup B

Ví dụ 3: Cho các tập hợp A,\,\,Bvà C. Chứng minh rằng 
a) A\cap \left( B\cup C \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)
b) A\cup \left( B\cap C \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( A\cup C \right)
c) A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash C
Lời giải:
a) Ta có x\in A\cap \left( B\cup C \right)\Leftrightarrow   x\in A \\  x\in B\cup C \\
=> 
  x\in B \\
  x\in C \\
=>
x\in A \\
 x\in B \\
=>
x\in A \\
  x\in C \\
=>
  x\in A\cap B \\
  x\in A\cap C \\
\Leftrightarrow x\in \left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)
Suy ra A\cap \left( B\cup C \right)=\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap C \right)
b) Ta có x\in A\cup \left( B\cap C \right)\Leftrightarrow 
   x\in A \\
x\in B\cap C \\
=> 
x\in A \\  x\in B \\ 
x\in C \\

=>
x\in A \\
x\in B \\
=>
x\in A \\
x\in C \\
=> 
  x\in A\cup B \\
  x\in A\cup C \\
\Leftrightarrow x\in \left( A\cup B \right)\cap \left( A\cup C \right)
Suy ra A\cup \left( B\cap C \right)=\left( A\cup B \right)\cap \left( A\cup C \right)
c) Ta có x\in A\cap \left( B\backslash C \right) \Leftrightarrow
x\in A \\
   x\in B\backslash C \\
=>
x\in A \\
  x\in B \\
Và  x\notin C \\
=> 
  x\in A\cap B \\
 x\notin C \\
\Leftrightarrow x\in \left( A\cap B \right)\backslash C
Suy ra A\cap \left( B\backslash C \right)=\left( A\cap B \right)\backslash C

3. Bài tập luyện tập
Bài 1.36: Cho A=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x\in N|x chia hết cho 4,  B=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x\in N|x chia hết cho 6 và C=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }x\in N|x chia hết cho 12. 
a) Chứng minh rằng \[\text{A}\subset C\] và  B\subset C
b) A\cup B=C
c) A\not\subset B
Bài 1.37: Cho các tập hợp A=\left\{ -\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\,\,k\in Z \right\}, B=\left\{ \frac{11\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z \right\} và 
C=\left\{ \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2},\,\,k\in Z \right\}
a) Chứng minh rằng A=B. 
b) A\subset C

Bài 1.38: Cho các tập hợpA\subset B,\,\,C\subset D. Chứng minh rằng 
a) A\cup C\subset B\cup C        b)A\cap C\subset B        c) {{C}_{B}}A\cup A=B
Bài 1.39: Cho các tập hợp A,\,\,B và C. Chứng minh rằng 
a) \left( A\backslash B \right)\cup \left( B\backslash A \right)=\left( A\cup B \right)\backslash \left( A\cap B \right)
b) A\backslash \left( B\cap C \right)=\left( A\backslash B \right)\cup \left( A\backslash C \right)
c)A\backslash \left( B\cup C \right)=\left( A\backslash B \right)\cap \left( A\backslash C \right)
DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC 
1. Phương pháp giải 
  •  Để tìm A\cap B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A,B lên trục số
- Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ) 
- Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp A, B
  •  Để tìm A\cup B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số
- Tô đậm các tập A, B trên trục số  
- Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp A, B
  •  Để tìm A\backslash B ta làm như sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A,\,\,B  lên trục số
- Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A, gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số  
- Phần không bị gạch bỏ chính là A\backslash B

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho các tập hợp: 
                  \[A=\left\{ x\in R|\,x<3 \right\}\text{ }B=\left\{ x\in R|\,1<x\le 5 \right\}\text{ }C=\left\{ x\in R|\,-2\le x\le 4 \right\}\]
a) Hãy viết lại các tập hợp \[A,\text{ }B,\text{ }C\] dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. 
b) Tìm  A\cup B,\,\,\,\,A\cap B,\,\,A\backslash B
c) Tìm \[\left( B\cup C \right)\backslash \left( A\cap C \right)\]
Lời giải:
a) Ta có:   A=\left( -\infty ;3 \right)\text{ }B=\left( 1;5 \right]\text{ }C=\left[ -2;4 \right]
b)   Biểu diễn trên trục số

Suy ra A\cup B=\left( -\infty ;5 \right]
 Biểu diễn trên trục số

Suy raA\cap B=\left( 1;3 \right)

 Biễu diễn trên trục số

Suy raA\backslash B=\left( -\infty ;1 \right]
c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có
A\cap C=\left[ -2;3 \right)B\cup C=\left[ -2;5 \right]
Suy ra ta có \[\left( B\cup C \right)\backslash \left( A\cap C \right)=\left[ 3;5 \right]\]
Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào. 

 Ví dụ 2: Xác định các tập số sau và biểu diễn trên trục số:
a) \left( -4;2 \right]\cap \left[ 0;4 \right)         b) \left( 0;3 \right)\cup \left[ 1;4 \right]
c) \,\left[ -4;3 \right]\backslash \left[ -2;1 \right]        d) \mathbb{R}\backslash \left[ 1;3 \right]
Lời giải:
a) Ta có \[\left( -4;2 \right]\cap \left[ 0;4 \right)=\left[ 0;2 \right]\]
Biểu diễn tập đó trên trục số là  
b) Ta có  \[\left( 0;3 \right)\cup \left[ 1;4 \right]=\left( 0;4 \right]\]
Biểu diễn tập đó trên trục số là 
c) Ta có\[\,\left[ -4;3 \right]\backslash \left[ -2;1 \right]=\left[ -4;-2 \right)\cup \left( 1;3 \right]\]
Biểu diễn tập đó trên trục số là 
d) Ta có \[\mathbb{R}\backslash \left[ 1;3 \right]=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)\]
Biểu diễn tập đó trên trục số là 

Ví dụ 3: Cho các tập hợp \[A=\left( -\infty ;m \right)\] , B=\left[ 3m-1;3m+3 \right]. Tìm $m$ để
a) A\cap B=\varnothing            b) B\subset A
c) \[A\subset {{C}_{\mathbb{R}}}B\]               d) {{C}_{\mathbb{R}}}A\cap B\ne \varnothing
Lời giải:
Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ
a) Ta có A\cap B=\varnothing
\Leftrightarrow m\le 3m-1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}
Vậym\ge \frac{1}{2} là giá trị cần tìm. 
b) Ta có B\subset A\Leftrightarrow 3m+3<m\Leftrightarrow m<-\frac{3}{2}
Vậy m<-\frac{3}{2} là giá trị cần tìm. 
c) Ta có \[{{C}_{\mathbb{R}}}B=\left( -\infty ;3m-1 \right)\cup \left( 3m+3;+\infty \right)\]
Suy ra \[A\subset {{C}_{\mathbb{R}}}B\Leftrightarrow m\le 3m-1\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}\]
Vậy m\ge \frac{1}{2} là giá trị cần tìm. 
d) Ta có \[{{C}_{\mathbb{R}}}A=\left[ m;+\infty \right)\] suy ra {{C}_{\mathbb{R}}}A\cap B\ne \varnothing \Leftrightarrow m\le 3m+3\Leftrightarrow m\ge -\frac{3}{2}
Vậy m\ge -\frac{3}{2}   là giá trị cần tìm. 

3. Bài tập luyện tập
Bài 1.40: Xác định các tập hợp A\cup B,A\backslash C,A\cap B\cap Cvà biểu diễn trên trục số các 
          tập hợp tìm được biết:  
a) A=\left\{ x\in R\,\left| -1\le x\le 3 \right. \right\},B=\left\{ x\in R\,\left| x\ge 1 \right. \right\},C=\left( -\infty ;\,1 \right)
b)A=\left\{ x\in R\left| -2\le x\le 2 \right. \right\},B=\left\{ x\in R\left| x\ge 3 \right. \right\},C=\left( -\infty ;0 \right)

Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4]. 
a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử và biểu diễn chúng trên trục số. 
b) Xác định các phép toán A\cap B,\,\,\,B\cup C,\,\,\,A\backslash B.

Bài 1.42: Cho hai tập hợp A=\left[ 0;4 \right),B=\left\{ x\in \mathbb{R}/\left| x \right|\le 2 \right\}. Hãy xác định các tập hợp 
                                                A\cup B,A\cap B,A\backslash B

Bài 1.43: a) Cho   A = { \[x\in R|-1\le x<5\]} B={ \[x\in R|-2<x<0\]hoặc C={\[x\in R|x\ge 2\]}
Tìm \[A\cap B,A\cup C,B\backslash C\] và biểu diễn cách lấy kết quả trên trục số
b) ChoA=\left( -\infty ,-2 \right),\,\,\,B=\text{ }\!\![\!\!\text{ }2m+1,+\infty ). Tìm m để A\cup B=R.

Bài 1.44: a) Tìm m để \left( 1;m \right]\cap \left( 2;+\infty \right)\ne \varnothing .
b) Viết tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện 
  x\le 3 \\
 x+1\ge 0 \\
x<0 \\
dưới dạng tập số. 

Bài 1.45: Cho \[A=\left[ m;\,\,m+2 \right]\]\[B=\left[ n;\,\,n+1 \right]\]. Tìm điều kiện của các số m và n để A ∩ B =   

Bài 1.46: Cho tập hợp A=\left[ m-1;\frac{m+1}{2} \right]  và B=\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left[ 2;+\infty \right). Tìm m để
a) A\subset B      b) A\cap B=\varnothing
Bài 1.47: Cho hai tập khác rỗng:\[A=\left( m1;4 \right],\text{ }B=\left( 2\text{ };2m+2 \right)\],. Xác định m để:
a) \[A\cap B\ne \varnothing \] ;                 b) \[A\subset B\] ;    
c) \[B\subset A\] ;               d) \[(A\cap B)\subset (-1\,;\,\,3)\].

 

Tổng số điểm của bài viết là: 81 trong 17 đánh giá

Xếp hạng: 4.8 - 17 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

DANH MỤC TÀI LIỆU
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây