Liên hệ zalo
Phần mềm bán hàng toàn cầu
Bán tài liệu, giáo án tất cả các môn toán, lý,hoá,sinh,văn,sử,địa,tiếng anh, công dân,

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào 10

Thứ sáu - 14/05/2021 21:38
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào 10, Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 pdf, Các bài bất đẳng thức thi vào lớp 10, Chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào 10, Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 Nguyễn Ngọc Sơn.
tài liệu ôn thi vào 10
tài liệu ôn thi vào 10
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào 10, Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 pdf, Các bài bất đẳng thức thi vào lớp 10, Chứng minh bất đẳng thức ôn thi vào 10, Các chủ đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10 Nguyễn Ngọc Sơn, Tuyển tập bất đẳng thức các đề thi vào lớp 10 chuyên toán, Các bài toán chứng minh bất đẳng thức lớp 10, Chuyên đề bất đẳng thức thi vào 10, Các bất đẳng thức thường dùng THCS 

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10

I. Một số ví dụ
dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng
  (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc
Giải:
          Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: {{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 4xy
 Ta {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab; {{\left( b+c \right)}^{2}}\ge 4bc ; {{\left( c+a \right)}^{2}}\ge 4ac\\\\ \Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}{{\left( b+c \right)}^{2}}{{\left( c+a \right)}^{2}}\ge 64{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( 8abc \right)}^{2}} \\\\ \Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Ví dụ 2:
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9 (403-1001)
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z \ge 4(1-x)(1-y)(1-z)
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0
CMR: \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}
4) Cho x\ge 0,y\ge 0 thỏa mãn 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1 ;CMR: x+y\ge \frac{1}{5}

Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1
Chứng minh rằng  \frac{{{a}^{3}}}{b+c}+\frac{{{b}^{3}}}{a+c}+\frac{{{c}^{3}}}{a+b}\ge \frac{1}{2}

Giải:
Do a, b, c đối xứng,giả sử a\ge b\ge c \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}\ge {{c}^{2}} \\ \\ \frac{a}{b+c}\ge \frac{b}{a+c}\ge \frac{c}{a+b} \\ \end{matrix} \right.
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 {{a}^{2}}.\frac{a}{b+c}+{{b}^{2}}.\frac{b}{a+c}+{{c}^{2}}.\frac{c}{a+b}\ge \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}.\left( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \right)\\=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
 Vậy \frac{{{a}^{3}}}{b+c}+\frac{{{b}^{3}}}{a+c}+\frac{{{c}^{3}}}{a+b}\ge \frac{1}{2}  Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}
Ví dụ 4:
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd  = 1.Chứng minh rằng :
          {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+a\left( b+c \right)+b\left( c+d \right)+d\left( c+a \right)\ge 10
Giải:
Ta có {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab {{c}^{2}}+{{d}^{2}}\ge 2cd
Do abcd =1 nên cd =\frac{1}{ab} (dùng x+\frac{1}{x}\ge \frac{1}{2})

Ta có {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2(ab+cd)=2(ab+\frac{1}{ab})\ge 4 (1)
Mặt khác:
a\left( b+c \right)+b\left( c+d \right)+d\left( c+a \right)\\\\ =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)\\\\ =\left( ab+\frac{1}{ab} \right)+\left( ac+\frac{1}{ac} \right)+\left( bc+\frac{1}{bc} \right)\ge 2+2+2
 Vậy  {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+a\left( b+c \right)+b\left( c+d \right)+d\left( c+a \right)\ge 10

Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
\sqrt{{{(a+c)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}}\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 ta có ac+bd\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}
 mà {{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}\\\\={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( ac+bd \right)+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\ \le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}\\\\ \Rightarrow \sqrt{{{(a+c)}^{2}}+{{(b+d)}^{2}}}\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}


II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+ \frac{{{b}^{2}}}{a+c} + \frac{{{c}^{2}}}{b+a}\ge \frac{a+b+c}{2}
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có: \frac{{{a}^{2}}}{b+c} + \frac{b+c}{4}\ge a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có:\frac{{{b}^{2}}}{a+c} + \frac{a+c}{4} \ge b; và  \frac{{{c}^{2}}}{b+a} + \frac{a+b}{4}\ge c
Þ  \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+ \frac{{{b}^{2}}}{a+c} + \frac{{{c}^{2}}}{b+a} + \frac{a+b+c}{2}\ge a + b + c
Þ  \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+ \frac{{{b}^{2}}}{a+c} + \frac{{{c}^{2}}}{b+a}\ge \frac{a+b+c}{2}    (đpcm)
Vậy \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+ \frac{{{b}^{2}}}{a+c} + \frac{{{c}^{2}}}{b+a}\ge \frac{a+b+c}{2}

Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{xy}
Bài giải:

          Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2\ge 4ab => \frac{a+b}{ab}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}(a, b > 0)
Mặt khác:x + y \ge 2\sqrt{xy}=> xy \le \frac{{{(x+y)}^{2}}}{4}= \frac{1}{4}  (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
A =\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy} \ge \frac{4}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy} +\frac{1}{2xy}\\\\ = \frac{4}{{{(x+y)}^{2}}}+\frac{1}{2xy}\ge 4 +\frac{1}{2.\frac{1}{4}}= 4 + 2 = 6
Vậy MinA = 6 khi x = y = \frac{1}{2}

Bài 3.
\begin{matrix} & Cho\text{ }a,b,c>0:abc=1 \\ & CMR:\frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}+3}\le \frac{1}{2} \\ \end{align}

Hướng dẫn

Ta có:
{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab;\text{ }{{b}^{2}}+1\ge 2b\Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3\ge 2\left( ab+b+1 \right)\\\\ \Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3}\le \frac{1}{2\left( ab+b+1 \right)}
Tương tự => \frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}+3}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1} \right)
Mặt khác:
\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\\\\=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{a{{b}^{2}}c+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1 \\\\=> \frac{1}{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+3}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}+3}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2{{a}^{2}}+3}\le \frac{1}{2}\\\\ \Leftrightarrow a=b=c=1

Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.

CMR :  
Bài giải
Ta có
\\ {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+1\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{3}}{{y}^{3}}}=3xy\\\\ {{z}^{3}}+{{y}^{3}}+1\ge 3\sqrt[3]{{{z}^{3}}{{y}^{3}}}=3zy\\\\ {{x}^{3}}+{{z}^{3}}+1\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{3}}{{z}^{3}}}=3xz
Nên vế trái
\\= \frac{\sqrt{3xy}}{xy}+\frac{\sqrt{3zy}}{zy}+\frac{\sqrt{3xz}}{xz}\\\\=\sqrt{3}\left( \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{zy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}} \right)\ge 3\sqrt{3}\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{xy}\sqrt{zy}\sqrt{xz}}}\\\\=3\sqrt{3}

Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z

Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
 \sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{3}}}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
 \begin{matrix} & \sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}}+1\ge 3\frac{a}{b}\text{ (1)} \\ \\ & \sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}}+1\ge 3\frac{b}{c}\text{ (2)} \\ \end{align} => \sqrt{\frac{{{\text{c}}^{\text{3}}}}{{{\text{a}}^{\text{3}}}}}+\sqrt{\frac{{{\text{c}}^{\text{3}}}}{{{\text{a}}^{\text{3}}}}}+1\ge 3\frac{c}{a}\text{ (3)}
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
 \begin{matrix} & 2(\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{3}}}})+3\ge 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \\ \\& \text{ }\ge 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+3 \\ \end{align}
Vậy: \sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{3}}}}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}

Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: \frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge 3
HD: Áp dụng  \frac{1}{x} + \frac{1}{y }+ \frac{1}{z} \ge \frac{9}{(x + y + z)}

Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Q=\frac{1}{{{a}^{4}}+{{b}^{2}}+2a{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{4}}+{{a}^{2}}+2b{{a}^{2}}}.
Hướng dẫn
 
Với a>0;b>0ta có: \\ {{({{a}^{2}}-b)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{4}}-2{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{2}}\ge 2{{a}^{2}}b \\\\\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{2}}+2a{{b}^{2}}\ge 2{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}\\\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{4}}+{{b}^{2}}+2a{{b}^{2}}}\le \frac{1}{2ab\left( a+b \right)}\,\,(1)
Tương tự có \frac{1}{{{b}^{4}}+{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}b}\le \frac{1}{2ab\left( a+b \right)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2). Từ (1) và (2) \Rightarrow Q\le \frac{1}{ab\left( a+b \right)}
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow a+b=2ab  mà a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge 1\Rightarrow Q\le \frac{1}{2{{(ab)}^{2}}}\le \frac{1}{2}.
Khi a = b = 1 thì \Rightarrow Q=\frac{1}{2}. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là  \frac{1}{2}

Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x\ge 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}
Hướng dẫn
Ta có M = \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}=\frac{{{x}^{2}}}{xy}+\frac{{{y}^{2}}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=(\frac{x}{4y}+\frac{y}{x})+\frac{3x}{4y}
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương \frac{x}{4y};\frac{y}{x} ta có \frac{x}{4y}+\frac{y}{x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{x}}=1,
dấu “=” xảy ra Û x = 2y
 Vì x ≥ 2y Þ \frac{x}{y}\ge 2\Rightarrow \frac{3}{4}.\frac{x}{y}\ge \frac{6}{4}=\frac{3}{2}, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 1 +\frac{3}{2}=\frac{5}{2}, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Vậy GTNN của M là \frac{5}{2}, đạt được khi x = 2y

Bài 9:


Hướng dẫn:        


Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13)
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a\ge 1;\,b\ge 4;\,c\ge 9
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P=\frac{bc\sqrt{a-1}+ca\sqrt{b-4}+ab\sqrt{c-9}}{abc}
Hướng dẫn:


Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4.
Chứng minh rằng \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\ge 1\\\\ HD:\;\;\; \frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\\\\=\frac{1}{x}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge \frac{4}{x\left( y+z \right)}=\frac{4}{x\left( 4-x \right)}

Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b \ge 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \frac{8{{a}^{2}}+b}{4a}+{{b}^{2}}
Hướng dẫn
\\A= \frac{{{8a}^{2}+{b}}}{4a} + {b}^{2} = {2a} + \frac{b}{4a} + {b}^{2}\\\\ ={2a} - \frac{1}{4} + (\frac{b}{4a} + \frac{1}{4} ) + {b}^{2} \\\\=> A={2a} - \frac{1}{4} + \frac{a + b}{4a} + {b}^{2}\;\;\;\;\;\;\; (Do \;\;a + b \ge 1)\\\\ => A \ge {2a} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4a} + {b}^{2} = {a} + \frac{1}{4a} + {b}^{2} + {a} - \frac{1}{4} . \;\; Do \;\;a + b \ge 1 \;=>\; a \ge 1 - b\\\\ => A \ge {a} + \frac{1}{4a} + {b}^{2} + 1 - {b} - \frac{1}{4} = {a} + \frac{1}{4a} + (b-\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}.\\\\ Do\;\; a> 0 , theo\; cosi\; ta \;co : {a} + \frac{1}{4a} \ge 2 \sqrt{a.\frac{1}{4a}} = 1\\\\ => A \ge \frac{3}{2}

=> Gía trị nhỏ nhất của A là  {A}_{min} = \frac{3}{2}    khi a = b = 0,5

 

Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
Cho x>0 , y>0 thỏa mãn {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\frac{-2xy}{1+xy}.
Hướng dẫn: Với x>0,   y>0 ta có
\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}\ge xy\Leftrightarrow xy\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow 1+xy\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{1+xy}\ge \frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{2}{1+xy}\ge \frac{4}{3}
Do đó A=\frac{-2xy}{1+xy}=-2+\frac{2}{1+xy}\ge -2+\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}.
Dấu “=” xảy ra khi x=y.
 \left\{ \begin{matrix} & x>0,\,y>0 \\ \\& x=y \\ \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.\;\;\;\Rightarrow x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}
Vậy \min A=-\frac{2}{3}\;\; khi\;\; x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : \frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b}\ge \frac{8}{7}
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}\ge \frac{8}{7}
Ta có:
\frac{1}{a+1}+\frac{2}{2b+1} =\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+\frac{1}{2}}\ge 2\frac{1}{\sqrt{(a+1)(b+\frac{1}{2})}} (1)  (bđt Côsi)

\sqrt{(a+1)(b+\frac{1}{2})}\le \frac{a+1+b+\frac{1}{2}}{2}\le \frac{7}{4}       (bđt Cô si)
 Þ \frac{2}{\sqrt{(a+1)(b+\frac{1}{2})}}\ge \frac{8}{7} (2)
Từ (1) và (2) suy ra:\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+2b}\ge \frac{8}{7}
Dấu “=” xảy ra chỉ khi :a + 1 = b +\frac{1}{2} và a + b = 2 Û a = \frac{3}{4} \;;\; b = \frac{5}{4}

Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ac+2b}}
Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 \Rightarrow 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab \\= (ca+ c2)+(bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) \\\Rightarrow 2c+ab = (c+a)(c+b)
vì a ; b ; c > 0 nên  \frac{1}{a+c}>0 và \frac{1}{b+c}>0 áp dụng cosi ta có \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\ge 2.\sqrt{\frac{1}{(a+c)(b+c)}} dấu (=) xảy ra  <=>
Û \frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c} \Rightarrow a + c = b + c \Rightarrow a = b\\\\ hay \frac{1}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\le \frac{1}{2}(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b})
\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left( c+a \right)(c+b)}}\le \frac{1}{2}\left( \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right)\; (1) dấu bằng Û a = b
Tương tự: \frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le \frac{1}{2}\left( \frac{cb}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right) (2) dấu bằng Û b = c
 \frac{ac}{\sqrt{2b+ca}}\le \frac{1}{2}\left( \frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{b+a} \right) (3) dấu bằng Û a = c
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có
\Rightarrow P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le \frac{1}{2}(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}+\frac{cb}{b+a}+\frac{cb}{c+a}+\frac{ac}{b+a}+\frac{ac}{c+b})
\Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left[ (\frac{ab}{c+a}+\frac{cb}{c+a})+(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{c+b})+(\frac{cb}{a+b}+\frac{ac}{a+b} \right]
 =\frac{1}{2}\left[ \frac{(a+c).b}{c+a}+\frac{a.(b+c)}{b+c}+\frac{c.(b+a)}{a+b} \right]=\frac{1}{2}\left( a+b+c \right)=\frac{1}{2}.2=1
\Rightarrow P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le 1 dấu bằng Û a = b = c = \frac{2}{3}
Vậy min P = 1 khi a = b = c =\frac{2}{3}

Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}.
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
Do đó \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{(b+c)(c+a)}}\le \frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}     (cô-si)
Tương tự: \sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le \frac{\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}{2}; \sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le \frac{\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}}{2}
Vậy P\le \frac{\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}}{2}=\frac{3}{2}
Do đó: MinP = \frac{3}{2} , xảy ra khi a = b= c = \frac{1}{2}

Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=4{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{4x}+2011.
Hướng dẫn
\begin{matrix} & M=4{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{4x}+2011=4{{x}^{2}}-4x+1+x+\frac{1}{4x}+2010 \\ \\& ={{(2x-1)}^{2}}+(x+\frac{1}{4x})+2010 \\ \end{align}
{{(2x-1)}^{2}}\ge 0x > 0 \Rightarrow \frac{1}{4x}>0, Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + \frac{1}{4x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{4x}}=2.\frac{1}{2}=1
  • M ={{(2x-1)}^{2}}+(x+\frac{1}{4x})+2010 \ge 0 + 1 + 2010 = 2011M ³ 2011 ; Dấu “=” xảy ra
    \ó\left\{ \begin{matrix} & 2x-1=0 \\ \\& x=\frac{1}{4x} \\ \\ & x>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow   \left\{ \begin{matrix} \ & x=\frac{1}{2} \\ \\ & {{x}^{2}}=\frac{1}{4} \\ \\ & x>0 \\ \end{align} \right. 
 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = \frac{1}{2}

Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le 1.
Hướng dẫn
 
Từ {{\left( x-\sqrt{yz} \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+yz\ge 2x\sqrt{yz} (*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) \ge x(y+z)+2x\sqrt{yz}
Suy ra \sqrt{3x+yz}\ge \sqrt{x(y+z)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}(\sqrt{y}+\sqrt{z}) (Áp dụng (*))
x+\sqrt{3x+yz}\ge \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} (1)
Tương tự ta có:\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} (2), \frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}} (3)
Từ (1), (2), (3) ta có \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le 1
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1


Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn \frac{25}{4}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+\frac{c}{2\sqrt{a}-5}.
 
Do a, b, c > \frac{25}{4}(*) nên suy ra: 2\sqrt{a}-5>0, 2\sqrt{b}-5>0, 2\sqrt{c}-5>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
\\\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge 2\sqrt{a}\;\; (1)\\\\ \frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge 2\sqrt{b} \;\;(2)\\\\ \frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge 2\sqrt{c}\;\;(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q\ge 5.3=15.
Dấu “=” xẩy ra \Leftrightarrow a=b=c=25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15 \Leftrightarrow a=b=c=25

Tổng số điểm của bài viết là: 65 trong 13 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 13 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn

DANH MỤC TÀI LIỆU
Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây