Bán tài liệu, giáo án tất cả các môn toán, lý,hoá,sinh,văn,sử,địa,tiếng anh, công dân,
Phần mềm bán hàng toàn cầu

Chuyên đề Phương trình ôn thi vào 10 trường chuyên (tiếp)

Thứ hai - 26/04/2021 04:02
Chuyên đề Phương trình ôn thi vào 10 trường chuyên (tiếp), Chuyên de hệ phương trình on thi vào lớp 10, Chuyên de Hệ phương trình on thi vào lớp 10 dành cho học sinh chuyên, Chuyên đề on thi vào lớp 10 chuyên toán, Các chuyên De On thi vào lớp 10 môn Toán, Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán file word, Chuyên de on thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh, Chuyên de ON thi vào 10 môn Văn, Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề có đáp an ViOLET
tài liệu ôn thi học sinh giỏi
tài liệu ôn thi học sinh giỏi
Chuyên đề Phương trình ôn thi vào 10 trường chuyên (tiếp), Chuyên de hệ phương trình on thi vào lớp 10, Chuyên de Hệ phương trình on thi vào lớp 10 dành cho học sinh chuyên, Chuyên đề on thi vào lớp 10 chuyên toán, Các chuyên De On thi vào lớp 10 môn Toán, Chuyên đề luyện thi vào lớp 10 môn Toán file word, Chuyên de on thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh, Chuyên de ON thi vào 10 môn Văn, Ôn thi vào lớp 10 môn Toán theo chuyên đề có đáp an ViOLET 

Chuyên đề Phương trình ôn thi vào 10 trường chuyên (tiếp)

 Bài 27(Tuyển sinh tỉnh Hà Nam - chuyên 2018-2019)
a) Giải phương trình \left( \sqrt{x+9}-3 \right)\left( \sqrt{9-x}+3 \right)=2x.
b) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn {{7}^{x}}=3.\text{ }{{2}^{y}}+1
Lời giải
a) 
\left( \sqrt{x+9} -3 \right)\left( \sqrt{9-x}+3 \right) = 2x \\ Dk: \begin{cases} x+9\ge 0 \\ 9-x\ge 0 \\ \end{cases} <=> -9\le x\le 9.

Với đk trên, pt đã cho tương đương với
x\left( \sqrt{9-x}+3 \right)=2x\left( \sqrt{x+9}+3 \right) \\<=> \left[ \begin{matrix} x=0 \\ \sqrt{9-x}=2\sqrt{x+9}+3\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{cases} \right.
Đặt  a=\sqrt{9-x},\,b=\sqrt{9+x} => a,\,b\ge 0.
Từ (*), ta có hệ phương trình
\begin{cases} a=2b+3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=18\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{cases}
Thay  (1) vào (2) suy ra
{{\left( 2b+3 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+18 <=> \left[ \begin{matrix} b=\frac{3}{5} \\ b=-3 \\ \end{cases} \right.
Với b=-3  loại.
Với b=\frac{3}{5}\Rightarrow x=\frac{-216}{25} .
Thử lại, phương trình có tập nghiệm S=\left\{ \frac{-216}{25};0 \right\}.
b) TH1: Nếu  x=2k\,+1\,\left( k\in \mathbb{Z},k\ge 0 \right), =>: {{7}^{2k+1}}=3.\text{ }{{2}^{y}}+1.
+) Nếu k=0 suy ra x=1,y=1là nghiệm cần tìm. 
+) Nếu k\ge 1  suy ra 3.\text{ }{{2}^{y}}+1\ge {{7}^{3}}\Rightarrow y\ge 2\Rightarrow {{2}^{y}}\equiv 0\left( mo\text{d}4 \right).
 Xét mod 4 cả hai vế thì có:
   {{7}^{2k+1}}={{49}^{k}}.\text{ }7\equiv 3\left( mo\text{d}4 \right).
    3.\text{ }{{2}^{y}}+1\equiv 1\left( mo\text{d}4 \right) .  Suy ra phương trình vô nghiệm.
TH2: x=2k ( với k\in \mathbb{Z},k\ge 1)  khi đó
  {{7}^{2k}}=3.\text{ }{{2}^{y}}+1 \\<=> {{7}^{2k}}-1=3.\text{ }{{2}^{y}}\\<=> \left( {{7}^{k}}-1 \right)\left( {{7}^{k}}+1 \right)=3.\text{ }{{2}^{y}}\,\,\left( 1 \right).
Do {{7}^{k}}-1\equiv 0\left( mo\text{d}3 \right) kết hợp với (1)  suy ra {{7}^{k}}+1={{2}^{m\,\,\,\,}}\,\left( m\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right)
Vậy \left( 1 \right) <=> \left( {{2}^{m}}-2 \right){{2}^{m}}=3.\text{ }{{2}^{y}} \\<=> \left( {{2}^{m-1}}-1 \right){{2}^{m+1}}=3.\text{ }{{2}^{y}}
Do  {{2}^{m-1}}-1 lẻ và
{{2}^{m+1}}\cancel{\vdots }\,3 => \begin{cases} {{2}^{m-1}}-1=3 \\ {{2}^{m+1}}={{2}^{y}} \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ y=4 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=4 \\ \end{cases}
Thử lại, suy ra có hai cặp nghiệm \left( 1;\text{ }1 \right),\,\,\left( 2;\text{ }4 \right)  thỏa mãn yêu cầu.
Bài 28:(Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chuyên 2018-2019)
Giải phương trình: 7+2\sqrt{x}-x=\left( 2+\sqrt{x} \right)\sqrt{7-x}.
Lời giải
7+2\sqrt{x}-x=\left( 2+\sqrt{x} \right)\sqrt{7-x}                 (1)
ĐK:0\le x\le 7 (1) \\ <=> 7+2\sqrt{x}-x=2\sqrt{7-x}+\sqrt{x}.\sqrt{7-x} \begin{cases} \\ <=> \left( 7-x \right)-\sqrt{x}.\sqrt{7-x}+2\sqrt{x}-2\sqrt{7-x}=0 \\ \\ <=> \sqrt{7-x}\left( \sqrt{7-x}-\sqrt{x} \right)-2\left( \sqrt{7-x}-\sqrt{x} \right)=0 \\ <=> \left( \sqrt{7-x}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{7-x}-2 \right)=0 \\ <=> \left[ \begin{matrix} \sqrt{7-x}-\sqrt{x}=0 \\ \sqrt{7-x}-2=0 \\ \end{cases} \right. \\ <=> \left[ \begin{matrix} \sqrt{7-x}=\sqrt{x} \\ \sqrt{7-x}=2 \\ \end{cases} \right. \\ <=> \left[ \begin{matrix} 7-x=x \\ 7-x=4 \\ \end{cases} \right. \\ <=> \left[ \begin{matrix} x=3,5\text{ (TM)} \\ x=3\text{ (TM)} \\ \end{cases} \right. \\ \end{align}

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=\left\{ 3,5;3 \right\}
Bài 29 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương- chuyên 2018-2019)
Gọi {{x}_{1}},{{x}_{2}} là hai nghiệm của phương trình {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-6=0. Tìm tất cả các giá trị m nguyên dương để  A={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)}^{2}}có giá trị nguyên.
Lời giải
\begin{cases} \Delta '={{(m-1)}^{2}}-(2m-6)={{m}^{2}}-2m+1-2m+6 \\ \text{ }=({{m}^{2}}-4m+4)+3={{(m-2)}^{2}}+3>0\text{ }\forall m \\ \end{align} \Rightarrow
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}},{{x}_{2}}
Áp dụng hệ thức Vi-ét,
=>: \begin{cases} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-6 \\ \end{cases}
Do đó:

 A={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)}^{2}}-2\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}\cdot \frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}={{\left( \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2 

 \text{ }={{\left( \frac{4{{m}^{2}}-8m+4-4m+12}{2m-6} \right)}^{2}}-2={{\left( \frac{4{{m}^{2}}-12m+16}{2m-6} \right)}^{2}}-2 \\
  \text{ }={{\left[ \frac{2m(2m-6)+16}{2m-6} \right]}^{2}}-2={{\left( 2m+\frac{8}{m-3} \right)}^{2}}-2 \\

Với m\in {{N}^{*}},m\ne 3  thì 2m+\frac{8}{m-3}\in Q
=>  A  có giá trị nguyên 
\begin{cases} <=> 2m+\frac{8}{m-3}\in Z <=> \frac{8}{m-3}\in Z \\ \Rightarrow m-3\in \left\{ \pm 1;\pm 2;4;8 \right\}\text{ }\left( \text{do }m>0\Rightarrow m-3>-3 \right) \\ \Rightarrow m\in \left\{ 4;2;5;1;7;11 \right\} \\ \end{align}
Vậy  m\in \left\{ 4;2;5;1;7;11 \right\} là các giá trị cần tìm.
 Bai 30.(Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019)
Cho phương trình {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-3=0 (1), với x là ẩn, m là tham số. Gọi {{x}_{1}},{{x}_{2}}  là hai nghiệm của phương trình (1). Đặt B=\frac{3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}-5}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4} . Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải
Phương trình {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x-3=0(1) 
+ Nhận xét \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+12>0,\,\,\forall m\in \mathbb{R}. Suy ra \left( 1 \right)  luôn có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}},{{x}_{2}}
+ Theo hệ thức Viet =>
\begin{cases} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3 \\ \end{cases} .
=> B=\frac{3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}-5}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4}=\frac{3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-5}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4}
            =\frac{3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+4\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-5}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4} \\=\frac{3\left[ {{\left( m+1 \right)}^{2}}+6 \right]+4\left( m+1 \right)-5}{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+6-4} \\ =\frac{3{{m}^{2}}+10m+20}{{{m}^{2}}+2m+3}. \\<=> \left( B-3 \right){{m}^{2}}+2\left( B-5 \right)m+3B-20=0 (*)
+ Nếu B=3 thì m=-\frac{11}{4}.
+ Nếu B\ne 3  thì (*) là phương trình bậc hai ẩn m. Phương trình (*) có nghiệm m khi và chỉ khi \Delta '\ge 0
 hay {{\left( B-5 \right)}^{2}}-\left( B-3 \right)\left( 3B-20 \right)\ge 0\\ <=> 2{{B}^{2}}-19B+35\le 0\\<=> \frac{5}{2}\le B\le 7 .
Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7  khi m=-\frac{1}{2}.
Bài 31(Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang- chuyên 2018-2019)
 Giải phương trình \sqrt{x+3}+{{x}^{2}}+4x=7.
Lời giải
+ Điều kiện x+3\ge 0 <=> x\ge -3
+ Phương trình đã cho tương đương  
\left( \sqrt{x+3}-2 \right)+\left( {{x}^{2}}+4x-5 \right)=0 \\ <=> \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+\left( x-1 \right)\left( x+5 \right)=0 \\
<=> \left( x-1 \right)\left[ \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\left( x+5 \right) \right]=0 \\ <=> \left[ \begin{matrix} x-1=0 \\ \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\left( x+5 \right)=0 \\ \end{cases} \right. \\ +) x-1=0 <=> x=1.
+) \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\left( x+5 \right)=0 vô nghiệm vì \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+\left( x+5 \right)>0,\,\forall x\ge -3.
+ So sánh điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là \left\{ 1 \right\}.
Bài 32(Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi  chuyên 2018-2019)
Giải phương trình  \sqrt{x+1}+\sqrt{1-3x}=x+2
Lời giải
Điều kiện: -1\le x\le \frac{1}{3}
Ta viết lại
\left( \sqrt{x+1}-1 \right)+\left( \sqrt{1-3x}-1 \right)=x \\ <=> \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{3x}{\sqrt{1-3x}+1}=x \\<=> x\left( 1-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{3}{\sqrt{1-3x}+1} \right)=0 \\<=> \left[ \begin{matrix} x=0 \\ 1-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{3}{\sqrt{1-3x}+1}=0 \\ \end{cases} \right.
Mà phương trình
1-\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{3}{\sqrt{1-3x}+1}=0
vô nghiệm, nên nghiệm của phương trình ban đầu là x=0  (thỏa điều kiện).
Bài 33(Tuyển sinh tỉnh Nam Định  chuyên 2016-2017)
Cho phương trình {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m-2=0 (với m là tham số).
a.   Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4+{{x}_{1}}{{x}_{2}}.
b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2.
Lời giải
   => \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( 2m-2 \right)={{m}^{2}}-6m+9={{\left( m-3 \right)}^{2}}.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} <=> \Delta >0 <=> m\ne 3.
Theo hệ thức Viet
=> \begin{cases} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m+1 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-2 \\ \end{cases} x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\<=> {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4 \begin{cases} <=> {{\left( m+1 \right)}^{2}}-3\left( 2m-2 \right)=4 <=> {{m}^{2}}-4m+3=0 \\ <=> \left[ \begin{matrix} m=1\,\, \\ m=3\, \\ \end{cases} \right.\\ \end{align}
Đối chiếu điều kiện ta được m=1 là giá trị cần tìm.
   {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m-2=0 <=> \left( x-2 \right)\left( x-m+1 \right)=0 \\<=> \left[ \begin{matrix} x=2 \\ x=m-1. \\ \end{cases} \right.
Phương trình có nghiệm lớn hơn 2 khi và chỉ khi m-1>2 <=> m>3.
Bài 34(Tuyển sinh tỉnh Thái Bình  chuyên 2018-2019)
 trình: {{x}^{2}}-4mx+4{{m}^{2}}-2=0 (1)
a. Giải phương trình (1) khi m=1.
b.  Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là {{x}_{1}};{{x}_{2}}, khi đó tìm m để x_{1}^{2}+4m{{x}_{2}}+4{{m}^{2}}-6=0.
Lời giải
Cho phương trình: {{x}^{2}}-4mx+4{{m}^{2}}-2=0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m=1.
+) Thay m=1, => phương trình:   {{x}^{2}}-4x+2=0
     <=> \left[ \begin{matrix} x=2-\sqrt{2} \\ x=2+\sqrt{2} \\ \end{cases} \right.
Vậy phương trình có hai nghiệm: {{x}_{1}}=2-\sqrt{2},\,\,{{x}_{2}}=2+\sqrt{2}
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là {{x}_{1}};{{x}_{2}}, khi đó tìm m để
x_{1}^{2}+4m{{x}_{2}}+4{{m}^{2}}-6=0. \\+) =>: \Delta '={{\left( 2m \right)}^{2}}-\left( 4{{m}^{2}}-2 \right)=2>0,\,\,\forall m
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Khi đó, theo định lý Viet:{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4m  và:
x_{1}^{2}+4m{{x}_{2}}+4{{m}^{2}}-6=0 \\<=> \left( x_{1}^{2}-4m{{x}_{1}}+4{{m}^{2}}-2 \right)+4m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-4=0 \\ <=> 0+4m.4m-4=0 <=> m=\pm \frac{1}{2}
Vậy m=\pm \frac{1}{2}
Bài 35(Tuyển sinh tỉnh Thái Bình  chuyên 2018-2019)
Giải phương trình:    3.\sqrt{3}\left( {{x}^{2}}+4x+2 \right)-\sqrt{x+8}=0
Lời giải
Điều kiện: x\ge -8
\begin{cases} 3.\sqrt{3}.\left( {{x}^{2}}+4x+2 \right)-\sqrt{x+8}=0 <=> 9{{x}^{2}}+36x+18=\sqrt{3x+24} \\ <=> {{\left( 3x+\frac{13}{2} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{3x+24}+\frac{1}{2} \right)}^{2}} \\<=> \left[ \begin{matrix} 3x+6={{\sqrt{3x+24}}^{{}}}\left( 1 \right) \\ -3x-7={{\sqrt{3x+24}}^{{}}}\left( 2 \right) \\ \end{cases} \right.\\ \end{align} \left( 1 \right) \\ <=> \begin{cases} x\ge -2 \\ 3{{x}^{2}}+11x+4=0 \\ \end{cases} \\<=> x=\frac{-11+\sqrt{73}}{6} \left( 2 \right) \\<=> \begin{cases} x\le \frac{-7}{3} \\ 9{{x}^{2}}+39x+25=0 \\ \end{cases} <=> x=\frac{-13-\sqrt{69}}{6}
Vậy tập nghiệm của phương trình là:S=\left\{ \frac{-11+\sqrt{73}}{6};\frac{-13-\sqrt{69}}{6} \right\}
Bài 36(Tuyển sinh tỉnh Bình Dương  chuyên 2018-2019)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y thỏa mãn: {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right).
Lời giải
Ta Có: 
\begin{cases} \text{ }{{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0 <=> {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0 \\ \\ <=> {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \\ \end{align} \\ <=> 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}                       (1)
Theo đề bài:
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right) <=> 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=6\left( x+y \right)         (2)
Từ (1) và (2)
\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}\le 6\left( x+y \right) \\ <=> x+y\le 6\text{ }(\text{do }x,y\in {{N}^{*}}\Rightarrow x+y>0) (3)
{{x}^{2}},{{y}^{2}}  là các số chính phương nên chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Mà {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=3\left( x+y \right)\text{ }\vdots \text{ }3
\Rightarrow {{x}^{2}}\vdots 3\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }{{y}^{2}}\vdots 3                            (4)
Từ (3) và (4) \Rightarrow x=y=3 (thỏa mãn đề bài)
Vậy x=y=3.
Bài 37 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương  chuyên 2018-2019)
Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện {{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+2y-4xy-3=0.
Lời giải
Tìm cặp số thực (x; y) với y lớn nhất thỏa mãn điều kiện {{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+2y-4xy-3=0.
Phương trình viết lại {{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}+2y-3=0
Phương trình có nghiệm khi {{\Delta }^{,}}=-{{y}^{2}}-2y+3\ge 0 <=> -3\le y\le 1.
Vì y  lớn nhất nên y=1 
\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+4=0 <=> {{(x-2)}^{2}}=0\Rightarrow x=2
Vậy \left( x;y \right)=\left( 2;1 \right)
B ài 38Tuyển sinh tỉnh Giai Lai - chuyên 2018-2019) 
a) Giải phương trình \sqrt{{{x}^{2}}+3\,x}=4x-2.
b) Tìm m để phương trình 12{{x}^{2}}+2mx-3=0  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn {{x}_{1}}+4{{x}_{2}}=0.
c) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình {{x}^{2}}-\left( y+2 \right)x+y=0.
Lời giải
a)  Điều kiện {{x}^{2}}+3\,x\ge 0
\sqrt{{{x}^{2}}+3\,x}=4x-2\Rightarrow {{x}^{2}}+3\,x={{\left( 4x-2 \right)}^{2}} \\<=> {{x}^{2}}+3\,x=16\,{{x}^{2}}-16\,x+4\\ <=> 15{{x}^{2}}-19\,x+4=0 \\<=> \left[ \begin{matrix} x=1 \\ x=\frac{4}{15} \\ \end{cases} \right. ( thỏa điều kiện)
Thử lại => x=1 là nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt  khi \Delta '>0
<=> {{m}^{2}}+36>0, đúng với mọi m\in \mathbb{R}.
Theo Vi-et, => {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{6}, {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}.
Kết hợp {{x}_{1}}+4{{x}_{2}}=0 ; {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{m}{6}
ta tìm được {{x}_{1}}=-\frac{2m}{9},\,{{x}_{2}}=\frac{m}{18}.
Thay {{x}_{1}}=-\frac{2m}{9},\,{{x}_{2}}=\frac{m}{18} => {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{4}
ta được phương trình
 {{m}^{2}}=\frac{81}{4} <=> \left[ \begin{matrix} m=\frac{9}{2} \\ m=-\frac{9}{2} \\ \end{cases} \right. 
( thỏa mãn)
Vậy m=\frac{9}{2} ; m=-\frac{9}{2}.
c) => 
{{x}^{2}}-\left( y-2 \right)x+y=0 <=> {{x}^{2}}+2x=y\left( x-1 \right)\left( * \right)
Với x=1  từ (*) suy ra 3=0  (vô lý) nên x=1 không phải là nghiệm của phương trình. 
Với x\ne 1 \left( * \right) <=> y=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x-1}=x+3+\frac{3}{x-1}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
y\in \mathbb{Z} <=> 3\vdots \left( x-1 \right)
với x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x-1\in \left\{ 3;-3;1;-1 \right\}\Rightarrow x\in \left\{ 4;-2;2;0 \right\}
Thay x  vào (1) ta tính được:  
\left[ \begin{matrix} x=4\Rightarrow y=8 \\ x=-2\Rightarrow y=0 \\ x=2\Rightarrow y=8 \\ x=0\Rightarrow y=0 \\ \end{cases} \right.
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là \left( 4;8 \right),\,\left( -2;0 \right),\,\left( 2;8 \right),\,\left( 0;0 \right)
B ài 39 (Tuyển sinh tỉnh An Giang - chuyên 2018-2019) 
Cho phương trình {{\text{x}}^{4}}-2\text{m}{{\text{x}}^{2}}-{{\text{m}}^{2}}-2=0 (\text{m }\!\!~\!\!\text{ }  là tham số).
a. Giải phương trình khi \text{m}=3 .
b. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm {{\text{x}}_{1}};\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}_{2}} : \left| {{\text{x}}_{1}} \right|+\left| {{\text{x}}_{2}} \right|=2 .
Lời giải
a) Cho phương trình  {{\text{x}}^{4}}-2\text{m}{{\text{x}}^{2}}-{{\text{m}}^{2}}-2=0 (\text{m }\!\!~\!\!\text{ } là tham số).
Khi m=3 => phương trình:  {{\text{x}}^{4}}-6{{\text{x}}^{2}}-11=0
Đặt \text{t}={{\text{x}}^{2}};\text{K }\!\!~\!\!\text{ t}\ge 0 
phương trình trở thành {{\text{t}}^{2}}-6\text{t}-11=0
 {{\text{t}}_{1}}=3+2\sqrt{5}>0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ } (TM);\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{t}}_{2}}=3-2\sqrt{5}<0 (loại)
Với {{\text{t}}_{1}}=3+2\sqrt{5} <=> {{\text{x}}^{2}}=3+2\sqrt{5} <=> \text{x}=\pm \sqrt{3+2\sqrt{5}}
 Vậy phương trình có hai nghiệm: {{\text{x}}_{1}}=\sqrt{3+2\sqrt{5}};{{\text{x}}_{2}}=-\sqrt{3+2\sqrt{5}} .
b) Phương trình {{\text{x}}^{4}}-2\text{m}{{\text{x}}^{2}}-{{\text{m}}^{2}}-2=0
Đặt \text{t}={{\text{x}}^{2}};\text{K }\!\!~\!\!\text{ t}\ge 0
phương trình trở thành: {{\text{t}}^{2}}-2\text{mt}-\left( {{\text{m}}^{2}}+2 \right)=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{*} \right)
=> phương trình (*) có a,c trái dấu do \left( {{\text{m}}^{2}}+2 \right)>0 \,\, \forall \,\, \text{m} .
Vậy phương trình (*)  luôn có hai nghiệm trái dấu. 
Giả sử {{\text{t}}_{1}}>0>{{\text{t}}_{2}} \,\, Do \,\, {{\text{x}}^{2}}={{\text{t}}_{1}} \\<=> \text{x}=\pm \sqrt{{{\text{t}}_{1}}}
Vậy phương trình đã cho luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.
c) Phương trình có hai nghiệm 
Do {{\text{x}}^{2}}={{\text{t}}_{1}} \\<=> \text{x}_{1}^{2}={{\text{t}}_{1}};\text{x}_{2}^{2}={{\text{t}}_{1}};{{\text{x}}_{1}}.{{\text{x}}_{2}}={{\text{t}}_{1}} \\ <=> {{\text{t}}_{1}}+{{\text{t}}_{1}}+2{{\text{t}}_{1}}=4 <=> {{\text{t}}_{1}}=1
Vậy phương trình {{\text{t}}^{2}}-2\text{mt}-\left( {{\text{m}}^{2}}+2 \right)=0\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  có một nghiệm bằng 1
Khi đó 1-2\text{m}-{{\text{m}}^{2}}-2=0 <=> {{\text{m}}^{2}}+2\text{m}+1=0 \\<=> \text{m}=-1
Thử lại thay \text{m}=-1\text{ }\!\!~\!\!\text{ }ta được 
{{\text{x}}^{4}}+2{{\text{x}}^{2}}-3=0 \\<=> {{\left( {{\text{x}}^{2}}+1 \right)}^{2}}=4 \\<=> {{\text{x}}^{2}}+1=\pm 2 \\<=> \left[ \begin{matrix} {{\text{x}}^{2}}+1=2 \\ {{\text{x}}^{2}}+1=-2~\left( VN \right) \\ \end{matrix} \right. \\<=> {{\text{x}}^{2}}+1=2 <=> {{\text{x}}_{1}}=1;{{\text{x}}_{2}}=-1
Thỏa điều kiện \left| {{\text{x}}_{1}} \right|+\left| {{\text{x}}_{2}} \right|=2 .

Tổng số điểm của bài viết là: 10 trong 2 đánh giá

Xếp hạng: 5 - 2 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây